初等函數(shù)的積分在何條件下仍為初等函數(shù)，也是他著重討論的問題。
劉維爾涉足科學領域之際，由阿阿爾和C．雅可比(Jacobi)所建立的橢圓函數(shù)理論正處于蓬勃發(fā)展時期。
1844年12月，劉維爾在給巴黎科學院的一封信中說明了如何從雅可比的定理(單變量單值亞純函數(shù)的周期個數(shù)不多于2，周期之比為非實數(shù))出發(fā)，建立雙周期橢圓函數(shù)的一套完整理論體系。
兩位德國數(shù)學家C．W．博爾夏特(Bor－chardt)和F．約赫姆塔爾(Joachimsthal)向劉維爾詳細請教了他的工作情況。
C．W．博爾夏特對劉維爾說：“聽說，你最近在研究橢圓函數(shù)理論？”
劉維爾說：“肯定的，這是未來的大趨勢?！?p> C．W．博爾夏特說：“一個橢圓函數(shù)，如何跟二維周期函數(shù)成為一回事的呢？”
F．約赫姆塔爾說：“我覺得這樣的理論不靠譜。”
C．W．博爾夏特說：“心里覺得奇怪，我們雖然經(jīng)歷了這樣的構(gòu)造過程，但是還是覺得不可思議。難道數(shù)學以后就是要這樣研究的嗎？”
劉維爾說：“你們不僅僅要適應，還要把這種連續(xù)不斷的變化變成常態(tài)才能更好的研究?！?p> C．W．博爾夏特說：“等一下，讓我們再縷縷。是橢圓函數(shù)在復空間內(nèi)，有一種圓環(huán)的形狀?！?p> F．約赫姆塔爾說：“然后是二維空間中也找到了這樣的結(jié)構(gòu)？”
劉維爾說：“是的，這兩者間有關聯(lián)，所以當前我要把我所有的精力都耗在二維周期函數(shù)上。”
C．W．博爾夏特說：“你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？”
劉維爾像兩個數(shù)學家展示了劉維爾四個定理。這是對橢圓函數(shù)論的一個較大貢獻。圍繞雙周期性，劉維爾展示了橢圓函數(shù)的實質(zhì)性質(zhì)，如下：
劉維爾第1定理：在一個周期平行四邊形內(nèi)沒有極點的橢圓函數(shù)是常數(shù)；
劉維爾第2定理：橢圓函數(shù)在任一周期平行四邊形內(nèi)的極點處殘數(shù)之和為0；
劉維爾第3定理：n階橢圓函數(shù)在一個周期平行四邊形內(nèi)取任一值n次；
劉維爾第4定理：在一周期平行四邊形內(nèi)零點之和與極點之和的差等于一個周期。
后來，到巴黎訪問的，而1850—1851年劉維爾在法蘭西學院講授的雙周期函數(shù)課程，也在C．A．布里奧(Briot)與J．C．布凱(Bou－quet)所著《雙周期函數(shù)論》(Théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一書中得到系統(tǒng)介紹。因此，盡管劉維爾的有關結(jié)論很少發(fā)表，仍能在法國內(nèi)外迅速傳播并產(chǎn)生影響，雙周期函數(shù)的講義后來發(fā)表在1880年第88卷的德國《純粹與應用數(shù)學雜志》上。